נולד בניו יורק בשנת 1907. אלשטיין שר בבית כנסת מקומי כמקהלן, וכן במקהלת הילדים במטרופוליטן אופרה.
הוא למד בג'וליארד, ומאוחר יותר עבד כמלוה לאמנים דוגמת מולי פיקון, מישה מישקוף, מיכל פיאסטרו, איסה קרימר והחזן יוסף רונזבלט.
אברהם אלשטיין נחשב כאחד מארבעת המלחינים החשובים ב''שדרה השנייה'' - Second Avenue composers . אלשטיין היה פעיל ברדיו ושידר תוכניות על מוסיקת בתי כנסת ומוסיקה ביידיש. כמלחין, כתב 33 פרטיטורות עבור תיאטרון היידיש, יותר מ500 שירי יידיש, וכמה פרטיטורות עבור סרטי יידיש. ב1957 החל להלחין מוסיקה קונצרטנטית ומוסיקה לבית כנסת (ראה בפרסומים), כולל אופרות, אורטוריות וליטורגיות.
לביוגרפיה מלאה (באנגלית) בארכיון מילקן לחץ כאן